【提招专题】全等三角形 模型6——半角模型

全等三角形模型繁杂,本次的内容是全等三角形的第六个模型——半角模型。半角即一个角的度数是另一个角度数的一半,无论是三角形、正方形还是不规则四边形,都有半角的出现,本次讲解的内容是根据几何图形中的半角条件,证明两个三角形全等并解决实际问题。

 

模型讲解

一、正方形中的半角模型

【条件】如图两个角共顶点,其中一个角(45º)是另一个角(90º)的一半

     

【结论】EF=BE+DF  EA平分BEFFA平分DFE

                ③△EFC的周长等于正方形边长的2

 

                 

                ④ 如图:AM=AB

 

                       

 

              ⑤  如图:EAF=45º,则EF²=BE²+FC²

                           

【证明】延长CB至点P,使得BP=DF 连接AP

                    第一次全等                                      第二次全等

              在ABPADF                           AEPAEF

       (1)AB=AD(正方形边长相等)   (1)AP=AF

       (2) ABP=ADF=90º                   (2)PAE=FAE

       (3)BP=DF(构造)                       (3)AE=AE

          ABP≌△ADFSAS                  ∴△AEP≌△AEFSAS

          AP=AF 1=2                           PE=EF

          ∵∠2+3=45º                                    PB+BE=EF

          ∴∠1+3=45º,                                   DF+BE =EF

          ∴∠PAE=FAE  

            ②  得:AEP≌△AEF,则4=5AFE=P

             又APB≌△AFD∴∠P=AFD∴∠AFE=AFD

           ∴EA平分BEFFA平分DFE

            ③  得:EF=BE+DF∴△EFC的周长=EF+EC+CFBE+DF+EC+CF

             =BC+DC ∴△EFC的周长等于正方形边长的2

              AAMEF,则AME=B=90º。由1=2AE=AE

            ∴△ABE≌△AMEAAS),AM=AB

           ⑤ 如图,过点AAPAF AP=AF.连接PE

∵∠CAB= ∠PAF=90º,∠1=∠2

              第一次全等                      第二次全等

        在ABPACF              AEPAEF

         (1)AB=AC                        (1)  AP=AF

         (2) 2=1                       (2)PAE=FAE

         (3)AP=AF                        (3) AE=AE

        ABP≌△ACFSAS         ∴△AEP≌△AEFSAS

       ∴BP=CF ABP=C=45º    PE=EF

      ∵∠EAF=45º                               RtPBE中,PE²=PB²+BE²

      ∴∠1+3=45º,                           EF²=CF²+BE²

      ∴∠2+3 =45º 

 

二、等腰三角形中的半角模型

【条件】  如图,△ABC是等边三角形,△BDC 是等腰三角形,

且∠BDC=120°,∠MDN=60º

【结论】MN= BM+CN;

                ②△MAN 的周长等于ABC边长的 2 ;

                ③MDBMN的平分线,NDCNM的平分线

【证明】

             

∵△BDC是等腰三角形,且∠BDC=120°,

∴∠BCD=∠DBC=30°.

∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC = ∠BAC = ∠BCA=60°,

∴∠DBA= ∠DCA=90°.

延长 AB至点F,使BF=CN,连接DF,如图.在△BDF 和△CDN 中,DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN,∴△BDF≌△CDN(SAS),

∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN.

∵∠MDN=60°, ∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°,

即∠FDM=60°=∠MDN.

在△DMN 和△DMF 中,DN=DF,∠MDN= ∠MDF, DM=DM,

∴△DMN≌△DMFSAS),∴ MN=MF=BM+CN,

F=∠MND=∠CND,∠FMD=∠DMN

∴△AMN的周长是 AMANMN=AMMBCNAN=ABAC=2边长.

 

三、对角互补且邻边相等的半角模型

【条件】如图,BD=180°BAD= 2EAFAB=AD

                 

【结论】EF=BE+FD;

                ②EA BEF的平分线,FADFE的平分线.

 

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全等三角形模型6 半角模型

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