全等三角形模型繁杂，本次的内容是全等三角形的第六个模型——半角模型。半角即一个角的度数是另一个角度数的一半，无论是三角形、正方形还是不规则四边形，都有半角的出现，本次讲解的内容是根据几何图形中的半角条件，证明两个三角形全等并解决实际问题。
模型讲解
一、正方形中的半角模型
【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45º）是另一个角（90º）的一半
【结论】①EF=BE+DF， ②EA平分∠BEF，FA平分∠DFE，
③△EFC的周长等于正方形边长的2倍
④ 如图：AM=AB
⑤ 如图：∠EAF=45º，则EF²=BE²+FC²
【证明】①∶延长CB至点P，使得BP=DF 连接AP
第一次全等 第二次全等
在△ABP和△ADF中 在△AEP和△AEF中
（1）AB=AD（正方形边长相等） （1）AP=AF
（2） ∠ABP=∠ADF=90º （2）∠PAE=∠FAE
（3）BP=DF（构造） （3）AE=AE
∴ △ABP≌△ADF（SAS） ∴△AEP≌△AEF（SAS）
∴AP=AF ，∠1=∠2 ∴PE=EF
∵∠2+∠3=45º 即PB+BE=EF
∴∠1+∠3=45º, ∴DF+BE =EF
∴∠PAE=∠FAE
② 由①得：△AEP≌△AEF，则∠4=∠5，∠AFE=∠P
又△APB≌△AFD，∴∠P=∠AFD，∴∠AFE=∠AFD
∴EA平分∠BEF，FA平分∠DFE
③ 由①得：EF=BE+DF，∴△EFC的周长＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF
=BC+DC， ∴△EFC的周长等于正方形边长的2倍
④ 过A作AM⊥EF，则∠AME=∠B=90º。由①得∠1=∠2，AE=AE，
∴△ABE≌△AME（AAS），∴AM=AB
⑤ 如图，过点A作AP⊥AF 且AP=AF.连接PE
∵∠CAB= ∠PAF=90º，∠1=∠2
第一次全等 第二次全等
在△ABP和△ACF中 在△AEP和△AEF中
（1）AB=AC （1） AP=AF
（2） ∠2=∠1 （2）∠PAE=∠FAE
（3）AP=AF （3） AE=AE
∴ △ABP≌△ACF（SAS） ∴△AEP≌△AEF（SAS）
∴BP=CF ，∠ABP=∠C=45º ∴PE=EF
∵∠EAF=45º 在Rt△PBE中，PE²=PB²+BE²
∴∠1+∠3=45º, 即EF²=CF²+BE²
∴∠2+∠3 =45º
二、等腰三角形中的半角模型
【条件】 如图，△ABC是等边三角形，△BDC 是等腰三角形，
且∠BDC=120°，∠MDN=60º，
【结论】①MN= BM+CN;
②△MAN 的周长等于△ABC边长的 2 倍;
③MD是∠BMN的平分线，ND是∠CNM的平分线
【证明】
∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°.
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC = ∠BAC = ∠BCA=60°,
∴∠DBA= ∠DCA=90°.
延长 AB至点F，使BF=CN，连接DF，如图.在△BDF 和△CDN 中，DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN,∴△BDF≌△CDN(SAS），
∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN.
∵∠MDN=60°, ∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°，
即∠FDM=60°=∠MDN.
在△DMN 和△DMF 中，DN=DF,∠MDN= ∠MDF, DM=DM,
∴△DMN≌△DMF（SAS），∴ MN=MF=BM+CN,
∠F=∠MND=∠CND，∠FMD=∠DMN，
∴△AMN的周长是 AM＋AN＋MN=AM＋MB＋CN＋AN=AB＋AC=2边长.
三、对角互补且邻边相等的半角模型
【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BAD= 2∠EAF，AB=AD，
【结论】①EF=BE+FD;
②EA 是∠BEF的平分线，FA是∠DFE的平分线.
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