【提招专题】双曲线

反比例函数是现实生活中普遍使用的模型，如通过改变电阻来控制电流的变化，从而使舞台的灯光达到变幻的效果；又如过湿地时，在地面上铺上木板，人对地面的压强减小，从而使人不陷入泥中.

反比例函数的基本性质有：

反比例函数与一次函数有着内在的联系. 如在作图时都要经历列表、描点、连线的过程；研究它们的性质时，都是通过几个具体的函数归纳出一般的规律，但它们毕竟不同.

反比例函数y=k/x中丨k丨的几何意义是：丨k丨等于双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积，如图：

求两个函数图象的交点坐标，常通过解由这两个函数解析式组成的方程组得到.

求符合某种条件的点的坐标，常根据问题的数量关系和几何元素间的关系建立关于横纵坐标的方程（组），解方程（组）求得相关点的坐标.

解反比例函数有关问题时，应充分考虑它的对称性，这样既能从整体上思考问题，又能提高思维的周密性.

反比例函数是描述变量之间相互关系的重要数学模型之一，用反比例函数解决实际问题，既要分析问题情景，建立模型，又要综合方程、一次函数等知识.

例题与求解

【例1】（1）如图，已知双曲线y=k/x（x>0）经过矩形OABC边AB的中点F且交BC于点E，四边形OEBF的面积为2，则k= .

（2）如图，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂都是等腰直角三角形，点P₁，P₂在函数y=4/x（x>0）的图象上，斜边OA₁，A₁A₂都在x轴上，则点A₂的坐标是 .

【例2】如图，P是函数y=1/(2x) 图象上一点(x>0)，直线y=-x+1 交x轴于点A，交y轴于点B，PM⊥x轴于M，交AB于E，PN⊥y轴于N，交AB于F，则AF·BE 的值为 .

【例3】如图，已知直线 y=x/2与双曲线y=k/x（x>0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4.

（1）求k的值；

（2）若双曲线y=k/x（x>0）上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积；

（3）过原点O的另一条直线 l 交y=k/x（x>0）于P、Q两点（P点在第一象限），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标.

【例4】已知反比例函数y=k/(2x) 和一次函数y=2x-1 ，其中一次函数的图象经过(a,b) ，(a+1,b+k) 两点.

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如图，已知A点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上，求A点坐标；

（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由.

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